飛船以第二宇宙速度沿水平方向飛出，能擺脫地球的引力束縛嗎？空間站受到擾動(dòng)會(huì)不會(huì)掉下來(lái)？3月20日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第三十八期開(kāi)播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，從物體在萬(wàn)有引力下的運(yùn)動(dòng)軌跡方程出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題作了詳細(xì)解答。

復(fù)習(xí)萬(wàn)有引力下的衛(wèi)星軌跡計(jì)算橢圓軌道時(shí)的極值距離

直播開(kāi)始，張朝陽(yáng)先帶網(wǎng)友復(fù)習(xí)了物體在萬(wàn)有引力下的軌跡方程是怎樣導(dǎo)出的。他在白板上寫出了上次課程得到的物體在萬(wàn)有引力作用下的徑向運(yùn)動(dòng)方程和角向運(yùn)動(dòng)方程：

其中的右上角撇號(hào)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。他再次解釋了r^2θ’是一個(gè)常數(shù)，相當(dāng)于說(shuō)，行星繞著恒星旋轉(zhuǎn)時(shí)，行星連接恒星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是一個(gè)常數(shù)，這也就是開(kāi)普勒第二定律。在課程直播里，張朝陽(yáng)用a來(lái)表示r^2θ’這個(gè)常數(shù)，也就是a=r^2θ’，或者θ’=a/r^2。把此式代入徑向方程，替代其中的θ’可得：

張朝陽(yáng)繼續(xù)著對(duì)軌道方程的推導(dǎo)。他說(shuō)，既然是求軌道方程，那么我們就不會(huì)關(guān)心r作為時(shí)間t的函數(shù)。在極坐標(biāo)上，曲線方程一般由r=r(θ)給出，因此我們應(yīng)該關(guān)心r作為θ的函數(shù)。于是他將式子中的對(duì)時(shí)間二次導(dǎo)數(shù)化成了對(duì)角度的導(dǎo)數(shù)：

張朝陽(yáng)提示大家，從這個(gè)式子以及前面的徑向方程來(lái)看，都存在很多1/r，那么如果做一個(gè)y=1/r的代換，會(huì)不會(huì)讓方程變得簡(jiǎn)單呢？再代換后得到：

等式右邊剛好等于上一個(gè)式子方括號(hào)里邊的部分。借助這一個(gè)“巧合”，可以得到了一個(gè)簡(jiǎn)潔的方程：

其中y=1/r。張朝陽(yáng)解釋，解方程的時(shí)候要觀其“面相”，而且這個(gè)問(wèn)題下是向心力在作用，因此使用極坐標(biāo)，這叫順勢(shì)而為。通過(guò)求這個(gè)方程的通解，可以得到這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡在極坐標(biāo)下的方程:

這個(gè)結(jié)果表明物體的運(yùn)動(dòng)軌跡只能是橢圓、拋物線或者雙曲線。當(dāng)軌跡是橢圓時(shí)，如果A>0，那么這個(gè)軌跡的遠(yuǎn)地點(diǎn)就是軌跡上θ=π的點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離是1/(B-A)；這個(gè)軌跡的近地點(diǎn)是軌跡上θ=0的點(diǎn)，近地點(diǎn)距離是1/(A+B)。

在帶著網(wǎng)友們完整地復(fù)習(xí)了上一次直播內(nèi)容后，他以衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)為例來(lái)說(shuō)明如何運(yùn)用這個(gè)軌道方程。在圓周運(yùn)動(dòng)下，半徑為常數(shù)，不隨角度變化，因此A=0，r=1/B=a^2/GM。將a=r^2θ’=vr代入并且移項(xiàng)，于是有:

張朝陽(yáng)解釋，這個(gè)式子兩邊乘上衛(wèi)星的質(zhì)量m后，左邊就是衛(wèi)星的加速度乘以質(zhì)量，右邊就是衛(wèi)星受到的引力，這就是普通的牛頓第二定律。這也從側(cè)面表明了推導(dǎo)出來(lái)的軌道方程是正確的。

飛船以第二宇宙速度切向飛出可逃離地球引力飛至無(wú)窮遠(yuǎn)處

從上期直播課的計(jì)算可以得知，當(dāng)飛船沿徑向以第二宇宙速度飛離地球，是可以脫離地球的引力束縛去到無(wú)窮遠(yuǎn)處的。此前，張朝陽(yáng)也向直播間的網(wǎng)友們提了一個(gè)問(wèn)題，如果飛船以第二宇宙速度沿切向飛出呢？他說(shuō)，目前我們求得了軌道方程，那么關(guān)于軌道的一切問(wèn)題我們都可以解答，“現(xiàn)在讓我們來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題?！?/p>

張朝陽(yáng)指出，當(dāng)飛船在離地心距離為r0的位置以第二宇宙速度沿切向飛出，那么有r0v2=a，v2在這里表示第二宇宙速度，它滿足:

將v2用a/r0代換后，可以得到:

移項(xiàng)就得到:

也就是r0=1/(2B)。同時(shí)，根據(jù)軌道方程θ=0的初始位置條件有r0=1/(A+B)。結(jié)合這兩個(gè)式子，可知A=B，接著對(duì)軌道方程作如下推導(dǎo)：

張朝陽(yáng)對(duì)這個(gè)式子作了進(jìn)一步解釋，初始位置是θ=0處，帶進(jìn)去就得到r=r0。當(dāng)θ越來(lái)越接近π，由于cos(π)=-1，飛船距離地心的距離r將會(huì)趨向于無(wú)窮大。因此飛船飛到了無(wú)窮遠(yuǎn)處。也就是說(shuō)，飛船逃逸出了地球的引力束縛。張朝陽(yáng)還說(shuō)到，這時(shí)候的軌跡是一條拋物線。

(張朝陽(yáng)對(duì)飛船以第二宇宙速度水平飛出的情況進(jìn)行討論)

此外，他還對(duì)這個(gè)問(wèn)題作了拓展，假如飛船是斜向上飛出，這時(shí)候可以把飛船的軌跡作一下反向延伸，根據(jù)能量守恒，在軌跡的近地點(diǎn)處，依然有mv^2/2=GMm/r，也就是在近地點(diǎn)處的速度就是相應(yīng)位置的第二宇宙速度。

張朝陽(yáng)解釋，第二宇宙速度是一個(gè)和距離有關(guān)的量。在軌跡的近地點(diǎn)處以相應(yīng)位置的第二宇宙速度飛出就相當(dāng)于水平以第二宇宙速度飛出，因此飛船是可以逃逸出地球的引力束縛而來(lái)到無(wú)窮遠(yuǎn)處的。對(duì)于飛船是斜向下飛出的情況也類似，只不過(guò)因?yàn)榈厍蚴怯写笮〉模w船有可能會(huì)撞上地球。如果沒(méi)有撞上，它還是可以逃出地球去到無(wú)窮遠(yuǎn)處。

(張朝陽(yáng)對(duì)第二宇宙速度的問(wèn)題作了拓展)

空間站在碰撞后軌跡會(huì)變成橢圓速度改變量很小時(shí)新軌道變化不大

關(guān)于空間站受到擾動(dòng)會(huì)不會(huì)掉下來(lái)的問(wèn)題，張朝陽(yáng)采取簡(jiǎn)化問(wèn)題突出重點(diǎn)的策略，假設(shè)了空間站一開(kāi)始做的是圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v0，半徑為r0。然后在某時(shí)刻，空間站碰到一些什么碎片，或者受到太陽(yáng)風(fēng)的影響，空間站的速度變成了v0+Δv，速度方向不變。

根據(jù)推導(dǎo)出來(lái)的軌跡方程，知道空間站在碰撞后軌跡會(huì)變成橢圓。因此需要計(jì)算出這個(gè)橢圓的參數(shù)，看看和原來(lái)的軌跡相比變化大不大。在原來(lái)的圓周運(yùn)動(dòng)下，A0=0，r0=1/B0。在碰撞后，空間站有了新的軌跡：

張朝陽(yáng)介紹，因?yàn)閿_動(dòng)的瞬間，空間站的位置并沒(méi)有變化，因此新的軌跡和舊的軌跡必然有重合點(diǎn)。又因?yàn)閿_動(dòng)沒(méi)有改變速度方向，因此這個(gè)重合點(diǎn)必然在新軌跡的近地點(diǎn)或者遠(yuǎn)地點(diǎn)處。因此有

在這里，A可以大于0，也可以小于0。大于零就表明此處是近地點(diǎn)，小于零就表明此處是遠(yuǎn)地點(diǎn)。

他接著寫下了速度在極坐標(biāo)基矢下的展開(kāi)式：

借助勾股定理并且代入θ’=a/r^2，得到:

假如此時(shí)飛船受到了微擾，那么速度大小v改變了，同時(shí)a也改變了，但是半徑不變。于是，通過(guò)對(duì)上式進(jìn)行微分，有:

由于假設(shè)改變的只是速度大小而非方向，再加上原來(lái)的速度方向是沿著地球切向的，因此上式右邊第一項(xiàng)為0，如此可得到:

根據(jù)B=GM/a^2，也就是Ba^2=GM是個(gè)常數(shù)，有:

結(jié)合前面倒數(shù)第二個(gè)式子，可以得到:

又因?yàn)閞0=1/B0=1/(A+B)，也就是A+B=B0，所以:

于是得到：

將這個(gè)結(jié)果代回軌跡方程，最終得到:

這就是擾動(dòng)后的軌道方程。張朝陽(yáng)還做了進(jìn)一步的解釋，當(dāng)Δv大于零時(shí)，擾動(dòng)位置將成為新軌道的近地點(diǎn)；當(dāng)Δv小于零時(shí)，擾動(dòng)位置將成為新軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)。并且，當(dāng)速度的改變量很小時(shí)，新軌道相比于原來(lái)的軌道只改變了一點(diǎn)點(diǎn)，因此空間站并不會(huì)掉下來(lái)。

(張朝陽(yáng)介紹擾動(dòng)后軌道的變化情況)

截至目前，《張朝陽(yáng)的物理課》已直播三十余期。從去年11月開(kāi)啟第一節(jié)物理直播課，他先是從經(jīng)典物理學(xué)開(kāi)始，科普了牛頓運(yùn)動(dòng)定律與能量動(dòng)量守恒原理等；接著從經(jīng)典物理的“兩朵烏云”說(shuō)起，向近現(xiàn)代物理過(guò)渡，探討了黑體輻射、光電效應(yīng)等問(wèn)題。而后在量子力學(xué)上從薛定諤方程出發(fā)，陸續(xù)推導(dǎo)介紹了無(wú)限深勢(shì)阱、氫原子波函數(shù)，及諧振子量子化等更加具體實(shí)用的案例。內(nèi)容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡(jiǎn)交融。

從此前的物理直播課可以看出，《張朝陽(yáng)的物理課》的直播風(fēng)格獨(dú)樹(shù)一幟：注重推導(dǎo)，通過(guò)一步一步詳盡的數(shù)學(xué)計(jì)算，推導(dǎo)出相關(guān)的物理公式，把每個(gè)公式從頭到尾拆解得十分清晰。據(jù)了解，《張朝陽(yáng)的物理課》于每周周五、周日12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽(yáng)”，觀看直播及往期完整視頻回放。